Chứng minh của Euler là một chứng minh ngắn[1] và dựa trên cơ sở rằng hàm tổng các ước σ là hàm nhân tính, nghĩa là nếu a và b là hai số nguyên tố cùng nhau thì σ(ab) = σ(a)σ(b). Để công thức này chính xác, tổng các ước của một số phải tính cả số hạng là chính số đó chứ không chỉ tính các ước thật sự của nó. Một số được coi là hoàn thiện khi và chỉ khi tổng các ước của nó bằng hai lần số đó.

Điều kiện đủ

Phần đầu tiên của định lý (phần đã được Euclid chứng minh) được suy ra từ tính nhân tính: mỗi số nguyên tố Mersenne tương ứng với một số hoàn thiện chẵn được tạo thành. Khi 2p − 1 là số nguyên tố thì

σ ( 2 p − 1 ( 2 p − 1 ) ) = σ ( 2 p − 1 ) σ ( 2 p − 1 ) . {\displaystyle \sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1).}

Các ước của 2p−1 là 1, 2, 4, 8, ..., 2p−1, tạo thành một cấp số nhân với tổng là 2p − 1. Vì 2p − 1 là số nguyên tố nên nó chỉ có hai ước là 1 và chính nó, và do đó, tổng các ước của nó là 2p.

Kết hợp lại, ta có:

σ ( 2 p − 1 ( 2 p − 1 ) ) = σ ( 2 p − 1 ) σ ( 2 p − 1 ) = ( 2 p − 1 ) ( 2 p ) = 2 ( 2 p − 1 ) ( 2 p − 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))&=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)\\&=(2^{p}-1)(2^{p})\\&=2(2^{p-1})(2^{p}-1).\end{aligned}}}

Do đó, 2p−1(2p − 1) là số hoàn thiện.[8][9][10]

Điều kiện cần

Ngược lại, giả sử tồn tại một số hoàn thiện chẵn được phân tích một phần dưới dạng 2kx, với x là số lẻ. Để 2kx là số hoàn thiện thì tổng các ước của nó phải bằng hai lần số đó:

2 k + 1 x = σ ( 2 k x ) = ( 2 k + 1 − 1 ) σ ( x ) . {\displaystyle 2^{k+1}x=\sigma (2^{k}x)=(2^{k+1}-1)\sigma (x).}

(∗)

Thừa số lẻ 2k+1 − 1 ở vế phải của (∗) có giá trị nhỏ nhất là 3, và nó phải là ước của x, thừa số lẻ duy nhất ở vế trái, nên y = x/(2k+1 − 1) là một ước thật sự của x. Chia cả hai vế của (∗) cho thừa số chung 2k+1 − 1 và xem xét các ước số x và y đã biết của x, ta được

Để đẳng thức trên đúng thì không thể tồn tại một ước số nào khác. Do đó, y phải bằng 1, và x phải là một số nguyên tố dạng 2k+1 − 1.[8][9][10]